REAL NUMBER EX 1.3 TO 1.4

वास्तविक संख्या   

( REAL NUMBER )

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बोर्ड प्रश्नावली 1.3 का हल

प्रश्न संख्या: 1. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।

अत: हम दो पूर्णांक $r$ और $s$ ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि $\sqrt{5}=\frac{r}{s}$ हो तथा $s(\ne 0)$ हो।

मान लिया कि $r$ और $s$ में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तब हम इस उभनिष्ठ गुणनखंड से $r$ और $s$ को विभाजित करके $\sqrt{5}=\frac{a}{b}$, प्राप्त कर सकते है, जहाँ $a$ और $b$ सहभाज्य (co-prime) हैं।

अत:, $b\sqrt{5}=a$.

दोनों पक्षों को वर्ग कर पुनर्व्यवस्थित करने पर हम पाते हैं कि

$5b^2=a^2$ -----(i).

अत:, 5, $a^2$ को विभाजित करता है।

अत: 5, $a$ को विभाजित करेगा।

अत: हम $a=5c$ लिख सकते है, जहाँ $c$ कोई पूर्णांक है।

अब समीकरण (i) में $a=5c$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$5b^2=25c^2$

$\Rightarrow b^2=5c^2$

इसका अर्थ है कि 5, $b^2$ को विभाजित करता है इसलिए 5, $b$ को भी विभाजित करेगा।

अत: $a$ और $b$ में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।

परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ और $b$ में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

यह विरोधाभास जमें इस कारण प्राप्त हुआ है, क्योंकि हमने एक त्रुटिपूर्ण कल्पना कर ली है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।

अत: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न संख्या: 2. सिद्ध कीजिए कि $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

इसके विपरीत मान लिया कि $3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।

अत: हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ $a$ और $b(b\ne 0)$ ज्ञात कर सकते हैं कि

$3+2\sqrt{5}=\frac{a}{b}$ हो।

$\Rightarrow 2\sqrt{5}=\frac{a}{b}-3$

$\Rightarrow \sqrt{5}=\frac{1}{2}(\frac{a}{b}-3)$

चूँकि $a$ तथा $b$ पूर्णांक हैं, इसलिए $\frac{1}{2}(\frac{a}{b}-3)$ एक परिमेय संख्या है।

अत: $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।

परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि $3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।

अत: यह सिद्ध करता है कि $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न संख्या: 3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं :

(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

हल:

इसके विपरीत हम मान लेते हैं कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।

अत: हम ऐसी सहाभाज्य संख्याएँ $a$ और $b(b\ne 0)$ ज्ञात कर सकते हैं कि

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$ हो।

$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{b}{a}$

चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, इसलिए $\frac{b}{a}$ एक परिमेय संख्या होगी।

अत: $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।

परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

अत: हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) $7\sqrt{5}$

हल:

इसके विपरीत मान लें कि $7\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।

अत: हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ $a$ और $b(b\ne 0)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $7\sqrt{5}=\frac{a}{b}$ हो।

अत:, $\sqrt{5}=a\left(7b\right)$

अब चूँकि $7,a$ तथा $b$ पूर्णांक हैं, अत: $\frac{a}{7b}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।

अत: $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।

परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। ऐसा इसलिये कि हमारा assumption गलत था।

अत: हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $7\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) $6+\sqrt{2}$

हल:

इसके विपरीत यह मान लें कि $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।

अत: हम ऐसी सहभाज्य संख्याएँ $a$ और $b(b\ne 0)$ ज्ञात कर सकते हैं कि

$6+\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ हों।

$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a}{b}-6$

चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, इसलिए $\frac{a}{b}?6$ भी एक परिमेय संख्या है। अर्थात $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या है।

परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमें अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त होता है कि $6+\sqrt{2}$एक परिमेय संख्या है।

अत: हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

बोर्ड प्रश्नावली 1.4 का हल

प्रश्न संख्या: 1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं:

(i) $\frac{13}{3125}$

हल:

$\frac{13}{3125}=\frac{13}{5^5}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(ii) $\frac{17}{8}$

हल:

$\frac{17}{8}=\frac{17}{2^3}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(iii) $\frac{64}{455}$

हल:

$\frac{64}{455}=\frac{64}{5\times 7\times 13}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(iv) $\frac{15}{1600}$

हल:

$\frac{15}{1600}=\frac{15}{2^6\times 5^2}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(v) $\frac{29}{343}$

Solution:

$\frac{29}{343}=\frac{29}{7^3}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(vi) $\frac{23}{2^3{5}^2}$

हल:

दिया गया है, $\frac{23}{2^3\times 5^2}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{23}{2^3\times 5^2}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(vii) $\frac{129}{2^2{5}^7{7}^5}$

हल :

दिया गया है, $\frac{129}{2^2\times 5^7\times 7^5}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{129}{2^2\times 5^7\times 7^5}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(viii) $\frac{6}{15}$

Solution:

Given, $\frac{6}{15}$

$=\frac{6}{3\times 5}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(ix) $\frac{35}{50}$

हल :

$\frac{35}{50}=\frac{35}{2}\times 5^2$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(x) $\frac{77}{210}$

हल:

$\frac{77}{210}=\frac{11\times 7}{30\times 7}$

$=\frac{11}{30}=\frac{11}{2\times 5\times 3}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{77}{210}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

प्रश्न संख्या: 2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।

(i) $\frac{13}{3125}$

हल :

$\frac{13}{3125}=\frac{13}{5^5}$

$=\frac{2^5\times 13}{2^5\times 5^5}$

$=\frac{32\times 13}{{10}^5}$

$=\frac{416}{{10}^5}$

$=0.00416$ उत्तर

(ii) $\frac{17}{8}$

हल :

$\frac{17}{8}=\frac{17}{2^3}$

$=\frac{17\times 5^3}{2^3\times 5^3}$

$=\frac{17\times 125}{{10}^3}$

$=\frac{2125}{{10}^3}$

$=2.125$ उत्तर

(iv) $\frac{15}{1600}$

हल :

$\frac{15}{1600}=\frac{5\times 3}{2^6\times 5^2}$

$=\frac{3}{2^6\times 5}$

$=\frac{3\times 5^5}{2^6\times 5\times 5^5}$

$=\frac{3\times 3125}{2^6\times 5^6}$

$=\frac{9375}{{10}^6}$

$=0.009375$ उत्तर

(vi) $\frac{23}{2^3{5}^2}$

उत्तर:

$\frac{23}{2^3\times 5^2}=\frac{23\times 5}{2^3\times 5^2\times 5}$

$=\frac{115}{2^3\times 5^3}$

$=\frac{115}{{10}^3}$

$=0.115$ उत्तर

(viii) $\frac{6}{15}$

हल :

$\frac{6}{15}=\frac{2\times 3}{5\times 3}$

$=\frac{2}{5}=\frac{2\times 2}{2\times 5}=\frac{4}{10}$

$=0.4$ उत्तर

(ix) $\frac{35}{50}$

हल:

$\frac{35}{50}=\frac{5\times 7}{5\times 10}$

$=\frac{7}{10}=0.7$ उत्तर

प्रश्न संख्या: 3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसा नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है य नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और $\frac{p}{q}$ के रूप हं तो $q$ के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?

(i) 43.123456789

हल:

दिया गया है,

43.123456789

चूँकि दिये गये संख्या का दशमलव प्रसार सांत है, अर्थात दी गई संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, तथा इस स्थिति में दी गई संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^m$ के रूप का होगा।

अत: दी गई संख्या के विभाजक का अभाज्य गुणनखंड $2^n$ या $5^m$ के रूप का या दोनों रूप का है। उत्तर

(ii) 0.120120012000120000 . . . . .

हल:

दिया गया है, 0.120120012000120000 . . . . .

चूँकि दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत है, अत: दी गई संख्या का दशमलव प्रसार एक असांत तथा अनावर्ती है। अत: दी गई संख्या अपरिमेय है।

अपरिमेय उत्तर

(iii) $43.\overline{123456789}$

हल:

दिया गया है, $43.\overline{123456789}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

अर्थात दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है। लेकिन इसके विभाजक के अभाज्य गुणनखंड में के अतिरिक्त $2$ के $5$ अतिरिक्त अन्य संख्या भी है।

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