Ploynomial for class 10th by om education point

• बहुपद ( Polynomial) चर, अचर, चर के गुणांक तथा ऋणेतर घातांक के जोड़, घटाव या गुणन की क्रिया वाले बीजगणितीय ब्यंजक को बहुपद (POLYNOMIAL) कहा जाता है।

उदारण:

$x^2+4x-7$, $x^3+2x^{2}y-y+1$, $3x$, 5, इत्यादि

दूसरी तरफ $x^{-2}y$, $\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x+1}$, $\sqrt{x}$, इत्यादि बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं हैं। क्योंकि एक बहुपद (POLYNOMIAL) में निम्नांकित ब्यंजक नहीं हो सकते हैं, या निम्नांकित ब्यंजक वाले बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं कहे जाते हैं:

(i) ऋणात्मक चिन्ह वाले घातांक जैसे कि $-2$, $-5$, आदि

(ii) कोई भी पद जो किसी चर से विभाजित हों, यथा $\frac{1}{x}$

(iii) कोई भी भिन्न वाले घातांक जैसे कि $\sqrt{x}$, क्योंकि इसे $x^{\frac{1}{2}}$ तरह लिखा जाता है।

लेकिन एक बहुपद (POLYNOMIAL) में अचर, चर या घात हो सकते हैं।

उदाहरण

अचर (Constants): $3,2,-2,\frac{1}{4}$ etc.

चर (Variables): $x,yx,z,abc$, etc.

घातांक (Exponents): $0,1,2,3,4$, etc.

बहुपद की घात (Degree of Polynomial)

यदि $p\left(x\right)$ एक बहुपद (POLYNOMIAL) है, तो चर $x$, के बहुपद $p\left(x\right)$ में $x$ की उच्चतम घात (Power) बहुपद की घात (Degree of Polynomial) कहलाती है।

• रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)

मान लिया कि $4x+2$ कि एक बहुपद है।

इस बहुपद के चर $x$ का घात एक (1) है। अत: इस बहुपद को एक घात वाला बहुपद या एक घातीय बहुपद या रैखिक बहुपद कहते हैं।

अत: घात 1 के बहुपद को एक घात वाला बहुपद या रैखिक बहुपद (Linear polynomial) कहते हैं।

• द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)

मान लिया कि $x^2+x+2$ एक बहुपद (Polynomial) है।

इस बहुपद (Polynomial) में चर (Variable) $x$ का उच्चतम घात 2 (दो) है। अत: ऐसे बहुपद को द्विघात बहुपद या द्विघाती बहुपद कहते हैं।

अत: घात 2 (दो) के बहुपद को द्विघात बहुपद (QUADRATIC POLYNOMIAL) कहते हैं।

• त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial)

घात 3 (तीन) का बहुपद (Polynomial) त्रिघात बहुपद (CUBIC POLYNOMIAL) कहलाता है।

उदाहरण:

$x^3+2x^2-x+1$, $2-x^3$, $\sqrt{2}x$, इत्यादि

चूँकि इन बहुपदों में चर $x$ की उच्चतम घात 3 (तीन) है, अत: ये सभी त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) हैं।

त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) का सबसे व्यापक रूप है:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ जहाँ $a,b,c,d$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a\ne 0$ है।

• बहुपद का मान (Value of Polynomial)

यदि $p\left(x\right)$, $x$ में कोई बहुपद है और $k$ कोई वास्तविक संख्या है, $p\left(x\right)$ में $x$ को $k$ से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या $p\left(x\right)$ का $x=k$ पर मान कहलाती है और इसे $p\left(k\right)$ से निरूपित करते हैं।

उदारहण:

मान लिया $p\left(x\right)=x^2-3x-4$

इसमें $x=2$ रखने पर हम पाते हैं कि

$p\left(2\right)=2^{23}\times 2-4=-6$

यहाँ प्राप्त मान $2$, $p\left(x\right)$ का $x=2$ मान कहलाता है।

• बहुपद का शून्यक (Zeroes of a Polynomial)

एक वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p\left(x\right)$ का शून्यक (zero of a polynomial) कहलाती है, यदि $p\left(k\right)=0$ है।

उदारण:

मान लिया कि एक बहुपद $p\left(x\right)=x^2-3x-4$

इस बहुपद में $x=-1$ रखने पर हम पाते हैं कि

$p(-1)={(-1)}^2-3(-1)-4$

$\Rightarrow p(-1)=1+3-4=0$

अब इस बहुपद में $x=4$ रखने पर हम पाते हैं कि

$p\left(4\right)=4^2?(3\times 4)-4$

$\Rightarrow p\left(4\right)=16-12-4=0$

चूँकि यहाँ $p(-1)=0$ तथा $p\left(4\right)=0$

अत: $-1$ और $4$ दिये गये बहुपद $x^2-3x-4$ का शून्यक कहलाती है।

• रैखिक बहुपद का शून्यक (Zeroes of a Linear Polynomial)

यदि $k$ बहुपद $p\left(x\right)=ax+b$ का शून्यक है, तब

$p\left(k\right)=ak+b=0$

i.e. $k=\frac{-b}{a}$

अत: दिये गये रैखिक बहुपद (LINEAR POLYNOMIAL) $ax+b$ का शून्यक बराबर $\frac{-b}{a}$ है।

व्यापक रूप में, यदि $p\left(x\right)=ax+b$ का एक शून्यक $k$ है, तो $p\left(k\right)=ak+b=0$

अर्थात $k=\frac{-b}{a}$ होगा।

अत: रैखिक बहुपद $ax+b$ का शून्यक

अत: रैखिक बहुपद का शून्यक उसके गुणांकों से संबंधित है। ( Thus, zero of a LINEAR POLYNOMIAL is related to its coefficients.)

• बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

व्यापक रूप में, घात $n$ के दिए गए बहुपद $p\left(x\right)$ के लिए, $y=p\left(x\right)$ का ग्राफ $x–$अक्ष को अधिक से अधिक $n$ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अत: घात $n$ के किसी बहुपद के अधिक से अधिक $n$ शून्यक हो सकते हैं।

•  प्रश्नावली 2.1 (NCERT Exercise 2.1)

प्रश्न संख्या: 1. किसी बहुपद $p\left(x\right)$ के लिए, $y=p\left(x\right)$ का ग्राफ नीचे चित्रों में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, $p\left(x\right)$ के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(i) 

उत्तर: चूँकि दिये गये ग्राफ में रेखा $x-$axis, को नहीं काटती है, अत: दिये गये बहुपद का कोई शून्यक नहीं है।

अर्थात शून्यक = 0

(ii) 

उत्तर: दिये गये चित्र में दिये गये बहुपद का ग्राफ $x-$अक्ष को केवल एक बार प्रतिच्छेद कर्ता है अर्थात काटता है

अत: दिये गये बहुपद का केवल एक शून्यक है।

अत: शून्यक की संख्या = 1

(iii) 

उत्तर:चूँकि दिये गये चित्र में बहुपद का ग्राफ $x-$अक्ष को तीन बार काटता है।

अत: दिये गये बहुपद के शून्यक की संख्या = 3

(iv) 

उत्तर:चूँकि दिये गये चित्र में बहुपद का ग्राफ $x-$अक्ष को दो बार प्रतिच्छेदित करता है, अत: शून्यकों की संख्या = 2 है।

(v) 

उत्तर: चूँकि दिये गये चित्र में बहुपद का ग्राफ $x-$अक्ष को तीन बार प्रतिच्छेदित करता है, अत: शून्यकों की संख्या = 3

(vi) 

उत्तर: चूँकि दिये गये चित्र में बहुपद का ग्राफ $x-$अक्ष को चार बार प्रतिच्छेदित करता है, अत: शून्यकों की संख्या = 4

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