पृष्ठीय क्षेत्रफल व आयतन

 

13.1 परिचय

हम जहाँ भी देखो, आम तौर पर हम ठोस देखें. अब तक, सब हमारे अध्ययन में, हम आसानी से हमारे पुस्तिकाओं या ब्लैकबोर्ड पर तैयार किया जा सकता है कि आंकड़ों के साथ काम कर रहे हैं. ये विमान आंकड़े कहा जाता है. हम उनकी परिधि और क्षेत्रों से क्या मतलब है, आयत, चौकों और हलकों हैं क्या समझ लिया है, और हम उन्हें कैसे पा सकते हैं. हम पहले की कक्षाओं में इन सीखा है. यह हम गत्ता चादर और एक ऊर्ध्वाधर ढेर में उन्हें ढेर से एक ही आकार और आकार के इन विमान आंकड़े के कई बाहर कटौती तो क्या होता है देखने के लिए दिलचस्प होगा. इस प्रक्रिया के द्वारा, हम पहले भी कक्षाओं में इस तरह के एक घनाभ, एक सिलेंडर, आदि के रूप में कुछ ठोस आंकड़े (संक्षेप में कहा जाता ठोस) प्राप्त करेगा, आप भी cuboids, क्यूब्स और सिलेंडरों की सतह क्षेत्रों और मात्रा को खोजने के लिए सीखा है. हम अब cuboids और विवरण में सिलेंडरों की सतह क्षेत्रों और मात्रा में मिल रहा है और ऐसे शंकु और क्षेत्रों के रूप में कुछ अन्य ठोस करने के लिए इस अध्ययन का विस्तार करने के लिए सीखना होगा.

13.2 सतही घनाभ का क्षेत्र और एक घन

आप कागज के कई चादरें का एक बंडल में देखा है? यह कैसे दिखता है? इसे आप चित्र में देख क्या की तरह दिखता है. 13.1?

अंजीर. 13.1

यही एक घनाभ का निर्माण करता है. आप इस घनाभ को कवर करना चाहते हैं आप, कितना भूरे रंग के कागज की आवश्यकता होगी? हम देखते हैं:

सबसे पहले हम बंडल के नीचे कवर करने के लिए एक आयताकार टुकड़े की जरूरत होगी. चित्र में दिखाया गया है कि होगा. 13.2 (एक)

तो फिर हम दो पक्ष सिरों को कवर करने के लिए दो लंबे आयताकार टुकड़े की आवश्यकता होगी. अब, यह चित्र की तरह दिखते थे. 13.2 (ख).

अब आगे और पीछे के सिरों को कवर करने के लिए, हम एक अलग आकार के दो और आयताकार टुकड़े की आवश्यकता होगी. चित्र में दिखाया गया के रूप में उन लोगों के साथ, हम अब एक आंकड़ा होगा. 13.2 (ग).

यह आंकड़ा बाहर जब खोला, अंजीर की तरह दिखते थे. 13.2 (घ).

अंत में, बंडल के ऊपर कवर करने के लिए, हम वास्तव में हम सही पक्ष पर देते हैं, यह चित्र की तरह लग रही होगी जो तल पर एक तरह, एक और आयताकार टुकड़ा की आवश्यकता होगी. 13.2 (ई).

इसलिए हम घनाभ का पूरा बाहरी सतह को कवर करने के लिए छह आयताकार टुकड़ों का इस्तेमाल किया है.

अंजीर. 13.2

यह एक घनाभ की बाहरी सतह जिसका क्षेत्रों को अलग से उनमें से प्रत्येक के लिए विस्तार से लंबाई गुणा करके पाया और फिर जोड़ने जा सकता है छह आयत (वास्तव में, आयताकार क्षेत्रों, घनाभ के चेहरे कहा जाता है) से बना है कि हमें पता चलता है एक साथ छह क्षेत्रों.

हम एल, ख के रूप में चौड़ाई और ज के रूप में ऊंचाई के रूप में घनाभ की लंबाई ले अब, अगर, तो इन आयामों के साथ आंकड़ा आप चित्र में देख आकार की तरह होगा. 13.2 (च).

तो, छह आयतों के क्षेत्रों का योग है:

आयत 1 का क्षेत्र (= एल × ज) आयत 2 के + क्षेत्र (= एल × ख) आयत 3 (= एल × ज) आयत 4 के + क्षेत्र के + क्षेत्र (= एल × ख) आयत 5 के + क्षेत्र (= ख × ज) आयत 6 के + क्षेत्र (= ख × ज)

= 2 (एल × ख) 2 (ख × ज) 2 (एल × ज) = 2 (पौंड + BH + एच. एल)

यह हमें देता है:

एल, ख और ज क्रमशः घनाभ के तीन किनारों कहाँ हैं.

नोट: हम इकाई लंबाई की ओर से चौकों के साथ भरने के द्वारा एक क्षेत्र की भयावहता को मापने क्योंकि क्षेत्र की इकाई, वर्ग इकाई के रूप में लिया जाता है.

हम जिनकी लंबाई एक घनाभ है अगर उदाहरण के लिए, चौड़ाई और ऊंचाई 15 सेमी, 10 सेमी और 20 सेमी क्रमशः रहे हैं, तो इसकी सतह क्षेत्र होगा:

2 [(15 × 10) (10 × 20) (20 × 15)] 2 सेमी

        = 2 (150 + 200 + 300) 2 सेमी

         = 2 × 650 सेमी 2

         = 1300 सेमी 2

जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई सभी बराबर हैं घनाभ, एक घन कहा जाता है कि स्मरण करो. घन के प्रत्येक किनारे एक है, तो यह घन की सतह क्षेत्र होगा 2 (एक × एक + एक × एक + एक × एक) यानी, 6 एक2 (चित्र देखें. 13.3), दे हमें

        एक घन के किनारे है जहां.

अंजीर. 13.3

एक घनाभ का छह चेहरे के बाहर, हम केवल ऊपर और नीचे चेहरे छोड़ने, चार चेहरों के क्षेत्र खोजने के लिए, मान लीजिए. ऐसे एक मामले में, इन चार चेहरों के क्षेत्र घनाभ के पार्श्व सतह क्षेत्र कहा जाता है. तो, लंबाई एल, चौड़ाई ख और ऊंचाई घंटे की एक घनाभ के पार्श्व सतह क्षेत्र 2lh के बराबर है + 2bh या 2 (एल + ख) ज. इसी तरह, पक्ष के एक घन के पार्श्व सतह क्षेत्र एक -4 ए 2 के बराबर है.

ऊपर से देखने में रखते हुए, घनाभ (या एक घन) की सतह क्षेत्र कभी कभी भी कुल सतह क्षेत्र के रूप में जाना जाता है. हमें अब कुछ उदाहरण हल करते हैं.

उदाहरण 1

मरियम उसे क्रिसमस पेड़ को सजाने के लिए चाहता है. वह (चित्र देखें. 13.4) इस पर सांता क्लॉस की तस्वीर के साथ रंग का कागज के साथ कवर एक लकड़ी के बक्से पर पेड़ जगह करना चाहता है. उन्होंने कहा कि इस उद्देश्य के लिए खरीदने के लिए कागज का सही मात्रा में पता होना चाहिए. बॉक्स 80 सेमी, 40 सेमी और 20 सेमी क्रमशः कितने ओर 40 सेमी की कागज के वर्ग शीट के रूप में लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई है तो वह आवश्यकता होगी?

हल

मैरी बॉक्स के बाहरी सतह पर कागज चस्पा करना चाहता है के बाद से, आवश्यक कागज की मात्रा एक घनाभ के आकार का है, जो बॉक्स की सतह क्षेत्र के बराबर होगा. बॉक्स के आयाम हैं:

अंजीर. 13.4

लंबाई = 80 सेमी, चौड़ाई = 40 सेमी, लंबाई = 20 सेमी.

बॉक्स की सतह क्षेत्र (पौंड + BH + एच. एल) = 2

          = 2 [(80 × 40) (40 × 20) (20 × 80)] 2 सेमी

          = 2 [3200 + 800 + 1600] 2 सेमी

          = 2 × 5600 सेमी 2 = 11200 2 सेमी

कागज के एक पत्रक = 40 × 40 सेमी 2 = 1600 सेमी 2 का क्षेत्र

इसलिए, चादरों की संख्या कागज = 7 में से एक चादर केबॉक्स / क्षेत्रके = सतह क्षेत्र की आवश्यकता

तो, वह 7 चादरों की आवश्यकता होगी.

उदाहरण 2

हमीद लंबे प्रत्येक बाहरी छोर 1.5 मीटर के साथ, अपने घर के लिए ढक्कन के साथ एक घनीय पानी की टंकी का निर्माण किया है. वह पक्ष के वर्ग टाइल्स 25 सेमी (चित्र देखें. 13.5) के साथ कवर आधार है, को छोड़कर टैंक की बाहरी सतह हो जाता है. टाइल्स की लागत दर्जन रुपये प्रति 360 है तो वह, टाइल्स के लिए खर्च होगा कितना लगाएं.

हल

हमीद टाइल्स के साथ कवर टैंक के पांच बाहरी चेहरे हो रही है, वह आवश्यक टाइल्स की संख्या पर फैसला करने के लिए, टैंक की सतह क्षेत्र पता करने की आवश्यकता होगी.

          घनीय टैंक के किनारे = 1.5 मीटर = 150 सेमी (= एक)

तो, टैंक की सतह क्षेत्र = 5 × 150 × 150 सेमी 2

प्रत्येक वर्ग टाइल = पक्ष × पक्ष का क्षेत्रफल = 25 × 25 सेमी 2

तो, टाइल्स की संख्या प्रत्येक टाइल कीटंकी / क्षेत्रके = सतह क्षेत्र की आवश्यकता = 5 एक्स 150 एक्स 150/25x 25 = 180

1 दर्जन टाइल्स की लागत, यानी, 12 टाइल्स की लागत = रु 360

इसलिए, एक टाइल के = रु 360/12 = 30 रुपए खर्च

तो, 180 टाइल्स = 180 की लागत × 30 रुपये = रुपये 5400

अंजीर. 13.5

युद्धाभ्यास 13.1

• एक प्लास्टिक का डिब्बा 1.5 मीटर लंबा, 1.25 मीटर चौड़ा और 65 सेमी गहरा बनाया जा रहा है. यह ऊपर में खुला होना है. प्लास्टिक शीट की मोटाई की उपेक्षा, निर्धारित:
• बॉक्स बनाने के लिए आवश्यक चादर के क्षेत्र.



• इसके लिए चादर की लागत, अगर 1m2 लागत 20 रुपये मापने एक चादर.



• एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई 5 मीटर, 4 मीटर और 3 मीटर क्रमशः रहे हैं. मी 2 रुपये प्रति 7.50 की दर से कमरे में और छत की दीवारों धोने सफेद की लागत का पता लगाएं.
रुपये


• एक आयताकार हॉल के फर्श एक परिधि 250 मीटर है.2मीटर 10 रुपये प्रति की दर से चार दीवारों पेंटिंग की कीमत रुपये 15000 है, तो हॉल की ऊंचाई पाते हैं.

  [सुझाव:. चार दीवारों = पार्श्व सतह क्षेत्र के एरिया]




• एक निश्चित कंटेनर में रंग 9.375 मीटर 2 के बराबर एक क्षेत्र को पेंट करने के लिए पर्याप्त है. कितने ईंटों आयामों का 22.5 सेमी × 7.5 सेमी इस कंटेनर के बाहर चित्रित किया जा सकता × 10 सेमी?



• एक घनीय बॉक्स प्रत्येक किनारे 10 सेमी है और एक और आयातफलकी बॉक्स लंबा, 10 सेमी चौड़ा और 8 सेमी उच्च 12.5 सेमी है.
• जो बॉक्स अधिक पार्श्व सतह क्षेत्र और कितना है?
• जो बॉक्स छोटे कुल सतह क्षेत्र और कितना है?
• एक छोटे से घर के अंदर ग्रीन हाउस (वनस्पति) टेप के साथ मिलकर आयोजित कांच के शीशे (आधार सहित) की पूरी तरह से बनाया जाता है. यह 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊंची, 30 सेमी लंबा है.
• कांच के क्षेत्र क्या है?



• कितना टेप के सभी 12 किनारों के लिए आवश्यक है?



• शांति मिठाई स्टाल उनकी मिठाई की पैकिंग के लिए गत्ता बक्से बनाने के लिए एक आदेश दे रहा था. बक्से के दो आकार के लिए आवश्यक थे. आयामों का बड़ा 25 सेमी × 20 सेमी × 5 सेमी और आयाम 15 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी के छोटे. सभी overlaps के लिए, कुल सतह क्षेत्र के 5% अतिरिक्त आवश्यकता है. गत्ते की लागत 1000 सेमी 2 के लिए 4 रुपये है, तो हर तरह के 250 बक्से की आपूर्ति के लिए आवश्यक गत्ते की लागत लगता है.



• परवीन सभी चार पक्षों और कार के ऊपर (ऊपर लुढ़काया जा सकता है जो एक फ्लैप के रूप में सामने चेहरे के साथ) को शामिल किया गया है कि तिरपाल के साथ एक बॉक्स की तरह संरचना बनाकर, उसकी कार के लिए एक अस्थायी आश्रय बनाना चाहते थे. सिलाई हाशिए तिरपाल आधार आयाम 4 मीटर × 3 मीटर के साथ, ऊंचाई 2.5 मीटर का आश्रय बनाने की आवश्यकता होगी कितना, बहुत छोटी है, और इसलिए नगण्य हैं कि मान लिया जाये?

एक सही परिपत्र सिलेंडर के 13.3 सतह क्षेत्र

हम पहले भी आयताकार चादरें खड़ी रूप में हम कागज के परिपत्र शीट के एक नंबर लेने के लिए और उन्हें हो चुकी है, तो हम (चित्र देखें. 13.6) क्या मिलेगा?

अंजीर. 13.6

ढेर खड़ी रखा है यहाँ, अगर, हम इसे आधार को सही कोण पर रखा गया है, क्योंकि एक सही परिपत्र सिलेंडर कहा जाता है क्या मिलता है, और आधार परिपत्र है. Letus सिलेंडर की तरह एक सही परिपत्र सिलेंडर क्या नहीं है देखते हैं.

चित्र 13.7 (क) में, आप निश्चित रूप से परिपत्र है जो एक सिलेंडर, देखते हैं, लेकिन यह आधार सही कोण पर नहीं है. तो, हम इस एक सही परिपत्र सिलेंडर नहीं कह सकता.

बेशक, आप चित्र में देख के रूप में हम एक गैर परिपत्र के आधार के साथ एक सिलेंडर है. 13.7 (ख), तो हम भी यह एक सही परिपत्र सिलेंडर नहीं कह सकते.

अंजीर. 13.7

टिप्पणी : यहाँ, हम केवल सही परिपत्र सिलेंडर के साथ काम किया जाएगा. तो, जब तक अन्यथा कहा, शब्द सिलेंडर एक सही परिपत्र सिलेंडर का मतलब होगा.

एक सिलेंडर रंग का कागज के साथ कवर किया जा रहा है अब, अगर हम कैसे कागज के कम से कम राशि के साथ क्या करेंगे? पहले जिनकी लंबाई जिसका विस्तार छवि में दिखाया गया के रूप में सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर है सिलेंडर और दौर में जाने के लिए अभी पर्याप्त है, कागज के एक आयताकार शीट ले. 13.8.

अंजीर. 13.8

चादर के क्षेत्र में हमें सिलेंडर की घुमावदार सतह क्षेत्र देता है. चादर की लंबाई 2π आर के बराबर है जो परिपत्र के आधार की परिधि के बराबर है कि ध्यान दें.

आयताकार शीट = लंबाई × चौड़ाई का सिलेंडर = क्षेत्र की तो, घुमावदार सतह क्षेत्र

सिलेंडर के आधार के = परिधि × ज

= 2π आर × ज

अतः,

आर सिलेंडर के आधार की त्रिज्या और ज सिलेंडर की ऊंचाई है जहां.

टिप्पणी : एक सिलेंडर के मामले में, जब तक अन्यथा कहा, 'एक सिलेंडर की त्रिज्या' सिलेंडर के आधार त्रिज्या 'का अर्थ होगा.

शीर्ष और सिलेंडर के तल को कवर किया जाना भी हैं, (चित्र देखें. 13.9 तब हम त्रिज्या r में से प्रत्येक कि ऐसा करने के लिए दो हलकों (वास्तव में, परिपत्र क्षेत्रों) की जरूरत है, और इस प्रकार π आर2 प्रत्येक के एक क्षेत्र होने ), हमें कुल सतह क्षेत्र के रूप में देने के 2π आरएच + 2π आर2 = 2π आर (आर + ज).

अंजीर. 13.9

अतः,

ज सिलेंडर और आर इसकी त्रिज्या की ऊंचाई है जहां.

टिप्पणी : आप π एक तर्कहीन संख्या है कि अध्याय 1 से याद कर सकते हैं. तो, π का ​​मूल्य एक गैर समाप्त, न दोहराई जाने वाली दशमलव है. लेकिन हम हमारी गणना में इसकी कीमत का उपयोग करते हैं, हम आम तौर पर 22/7 या 3.14 के लगभग बराबर के रूप में अपनी मान ले.

उदाहरण 3

सावित्री उसके विज्ञान परियोजना के लिए एक बेलनाकार बहुरूपदर्शक की एक मॉडल बनाने के लिए किया था. वह (चित्र 13.10 देखें) बहुरूपदर्शक की घुमावदार सतह बनाने के लिए चार्ट पेपर का इस्तेमाल करना चाहता था. वह एक 3.5 सेमी त्रिज्या के साथ लंबाई 25 सेमी की एक बहुरूपदर्शक बनाना चाहते थे तो क्या, उसके द्वारा आवश्यक चार्ट पेपर का क्षेत्र हो सकता है? आप = 22/7 π लग सकता है

हल

अंजीर. 13.4

बेलनाकार बहुरूपदर्शक (नि.) = 3.5 सेमी के आधार की त्रिज्या.

बहुरूपदर्शक की लम्बाई (लंबाई) (ज) = 25 सेमी.

चार्ट पेपर के क्षेत्र बहुरूपदर्शक के = घुमावदार सतह क्षेत्र की आवश्यकता

                    = 2π आरएच

                    = 2 × 22/7 × 3.5 × 25 सेमी 2

                    = 550 सेमी 2

अंजीर. 13.10

युद्धाभ्यास 13.2

जब तक अन्यथा कहा, = 22/7 π मान लें.

• ऊंचाई 14 सेमी की एक सही परिपत्र सिलेंडर के घुमावदार सतह क्षेत्र 88 2 सेमी है. सिलेंडर के आधार का व्यास का पता लगाएं.



• यह ऊंचाई 1 मीटर और आधार व्यास एक धातु की चादर से 140 सेमी की एक बंद बेलनाकार टैंक बनाने के लिए आवश्यक है. चादर के कितने वर्ग मीटर की दूरी पर ही के लिए आवश्यक हैं?



• एक धातु पाइप 77 सेमी लंबा है. एक क्रॉस सेक्शन के भीतरी व्यास 4 सेमी, 4.4 सेमी (चित्र देखें. 13.11) जा रहा बाहरी व्यास है. इसके खोजें
• भीतरी घुमावदार सतह क्षेत्र,



• बाहरी घुमावदार सतह क्षेत्र,



• सतह क्षेत्र के कुल.





अंजीर. 13.11

• एक रोलर का व्यास 84 सेमी है और इसकी लंबाई 120 सेमी है. यह एक खेल का मैदान के स्तर के लिए एक बार से अधिक ले जाने के लिए 500 पूरा क्रांतियों लेता है.2मीटर में खेल के मैदान के क्षेत्र का पता लगाएं.



• एक बेलनाकार स्तंभ व्यास में 50 सेमी और ऊंचाई में 3.5 मीटर है. मी 2 रुपये प्रति 12.50 की दर से स्तंभ की घुमावदार सतह पेंटिंग की कीमत का पता लगाएं.



• एक सही परिपत्र सिलेंडर की घुमावदार सतह क्षेत्र 4.4 2मीटर है. सिलेंडर के आधार की त्रिज्या 0.7 मीटर है, इसके ऊंचाई पाते हैं.



• एक परिपत्र के भीतरी व्यास अच्छी तरह से 3.5 मीटर है. यह गहरी 10 मीटर है. खोज
• अपने भीतर की घुमावदार सतह क्षेत्र,



• 2 मीटर प्रति 40 रुपये की दर से इस घुमावदार सतह पलस्तर की लागत.



• एक गर्म पानी हीटिंग सिस्टम में, लंबाई 28 मीटर और व्यास 5 सेमी की एक बेलनाकार पाइप है. प्रणाली में कुल radiating सतह का पता लगाएं.



• खोज
• पार्श्व या घुमावदार सतह व्यास और उच्च 4.5 मीटर में 4.2 मीटर है कि एक बंद बेलनाकार पेट्रोल भंडारण टैंक के क्षेत्र.



• इस्पात वास्तव में इस्तेमाल किया गया था, कितना वास्तव में इस्तेमाल स्टील के 1/12 अगर टैंक बनाने में बर्बाद हुआ.



• छवि में. 13.12, आप एक lampshade के फ्रेम को देखने. यह एक सजावटी कपड़े से कवर किया जा रहा है. फ्रेम 20 सेमी और 30 सेमी की ऊंचाई का एक आधार व्यास है. 2.5 सेमी की एक मार्जिन फ्रेम के ऊपर और नीचे से यह तह के लिए दिया जा रहा है. Lampshade को कवर करने के लिए आवश्यक है कितना कपड़े का पता लगाएं.




अंजीर. 13.12

• एक विद्यालय के छात्रों को बनाने और एक आधार के साथ एक सिलेंडर के आकार में सजा penholders, गत्ते का उपयोग करने के लिए एक प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया था. प्रत्येक क़लमों के लिये बैठकी त्रिज्या 3 सेमी और ऊंचाई 10.5 सेमी की जानी थी. विद्यालय गत्ते के साथ प्रतियोगियों आपूर्ति किया गया था. 35 प्रतियोगी थे, गत्ता प्रतियोगिता के लिए खरीदा जा करने के लिए कितना आवश्यक था?

एक सही परिपत्र शंकु के 13.4 सतह क्षेत्र

अब तक हम अनुकूल आंकड़े को stacking द्वारा ठोस पैदा किया गया है. संयोग से, इस तरह के आंकड़े प्रिज्म कहा जाता है. अब हमें एक चश्मे नहीं है जो ठोस का एक और प्रकार को देखो. (ठोस के इन प्रकार के पिरामिड कहा जाता है). हमें हम उन्हें उत्पन्न कर सकता है देखते हैं.

क्रियाकलाप

सीधा पक्षों के एक साथ सही बी पेस्ट में एक लंबी मोटी स्ट्रिंग angled एक समकोण त्रिकोण बाहर कट त्रिकोण की अटल बिहारी कहने [छवि देखते हैं. 13.13 (एक)]. त्रिकोण के दोनों पक्षों पर अपने हाथों से स्ट्रिंग पकड़ और स्ट्रिंग के बारे में त्रिकोण कई बार बारी बारी से. क्या होता है? आप यह स्ट्रिंग के आसपास घूमता है के रूप में त्रिकोण बनाने है कि आकृति को पहचानते हैं [छवि देखते हैं. 13.13 (ख)]? यह आपको लगता है कि आकार की एक कंटेनर में heaped एक आइसक्रीम खाया था समय की याद दिलाती है [छवि देखते हैं. 13.13 (ग) और (घ)]? 

अंजीर. 13.13

यह एक सही परिपत्र शंकु कहा जाता है. छवि में. सही परिपत्र शंकु के 13.13 (ग), एक शीर्ष कहा जाता है, बिंदु, एबी ऊंचाई कहा जाता है, ई.पू. त्रिज्या कहा जाता है और एसी शंकु की तिरछी ऊंचाई कहा जाता है. यहां बी शंकु के परिपत्र के आधार का केंद्र होगा. शंकु की ऊंचाई, त्रिज्या और तिरछा ऊंचाई आमतौर पर क्रमश घंटे, अनुसंधान और एल द्वारा चिह्नित हैं. एक बार फिर, हमें हम एक सही परिपत्र शंकु फोन नहीं कर सकते शंकु की किस तरह देखते हैं. यहाँ, आप (चित्र देखें. 13.14)! हैं क्या आप इन आंकड़ों में देखना सही परिपत्र शंकु नहीं कर रहे हैं, क्योंकि में (एक), रेखा के आधार को सही कोण पर अपने बेस के केंद्र के लिए अपने शीर्ष नहीं है में शामिल होने, और (ख) के आधार परिपत्र नहीं है.

अंजीर. 13.14

हम केवल सही परिपत्र शंकु के बारे में अध्ययन किया जाएगा के बाद से सिलेंडर के मामले में के रूप में, इस अध्याय में 'कोन' से, हम एक अर्थ होगा याद है कि 'सही परिपत्र शंकु.'

क्रियाकलाप

• किसी भी छा सीधे अपने पक्ष के साथ कागज, और शंकु की सतह रूपों कि कागज के आकार को देखने के लिए, इसे बाहर खोलने की जरूरत नहीं है कि एक बड़े करीने से बना कागज शंकु काट दिया. (तुम कोन कटौती जो साथ लाइन एल का प्रतिनिधित्व करती है जो शंकु की तिरछी ऊंचाई है). यह एक गोल केक का एक भाग की तरह लग रहा है.
• आप अब लाने पक्षों को एक साथ सुझावों पर ए और बी के रूप में चिह्नित है, तो आप देख सकते हैं कि अंजीर के घुमावदार भाग. 13.15 (ग) शंकु के परिपत्र के आधार बनेगी.


अंजीर. 13.15

• यदि छवि में एक कागज की तरह. 13.15 (ग) अब छोटे से टुकड़े के सैकड़ों में कट जाता है, बिंदु ओ से तैयार की तर्ज पर, प्रत्येक कटौती भाग जिनकी ऊंचाई शंकु की तिरछी ऊंचाई एल है लगभग एक छोटे त्रिकोण है.
• अब प्रत्येक त्रिकोण के क्षेत्र = साढ़े प्रत्येक त्रिकोण × एल के × आधार.

कागज के पूरे टुकड़ा की तो, क्षेत्र

                 सभी त्रिकोण के क्षेत्रों की राशि =

                 = साढ़े ख 1 एल + साढ़े बी 2 एल + साढ़े ख 3 एल + -------- = साढ़े एल (बी 1 बी 2 बी 3 + -------)

                 = साढ़े अंजीर के पूरे घुमावदार सीमा के × एल × लंबाई. 13.15 (ग)

(ख के रूप में 1 + बी2बी3 ... आंकड़ा के घुमावदार भाग का निर्माण करता है)

लेकिन आंकड़े के घुमावदार भाग शंकु के आधार की परिधि और शंकु आर शंकु के आधार त्रिज्या है जहां = 2π आर, के आधार की परिधि बनाता है.

अतः,

    आर उसके आधार त्रिज्या और मैं अपनी तिरछी ऊंचाई है जहां.

ध्यान दें कि मैं2r = 2घंटे2 (चित्र. 13.16 से देखा जा सकता है), पाइथागोरस प्रमेय लगाने से. यहाँ ज शंकु की ऊंचाई है.

अंजीर. 13.16

इसलिए, मैं = √ आर 2 घंटे 2

शंकु के आधार बंद किया जा रहा है तो अब, फिर त्रिज्या आर के कागज का एक परिपत्र टुकड़ा भी जिसका क्षेत्र आर2 π है की आवश्यकता है.

अतः,

उदाहरण 4

जिसका तिरछा ऊंचाई 10 सेमी और आधार त्रिज्या 7 सेमी है है एक सही परिपत्र शंकु की घुमावदार सतह क्षेत्र का पता लगाएं.

हल

घुमावदार सतह क्षेत्र = π आरएल

          = 22/7 × 7 × 10 सेमी 2

          = 220 सेमी 2

उदाहरण 5

एक शंकु की ऊंचाई 16 सेमी है और उसके आधार त्रिज्या 12 सेमी है. घुमावदार सतह क्षेत्र और शंकु की कुल सतह क्षेत्र (= 3.14 π प्रयोग) का पता लगाएं.

हल

इधर, ज = 16 सेमी और आर = 12 सेमी.

तो, मैं2 से = ज + 2आर2, हमारे पास

          एल = √ 16 + 2 12 2 सेमी = 20 सेमी

तो, घुमावदार सतह क्षेत्र = π आरएल

         = 3.14 × 12 × 20 सेमी 2 = 753.6 सेमी 2

इसके अलावा, कुल सतह क्षेत्र = π आरएल + π आर2

          = (753.6 + 3.14 × 12 × 12) सेमी 2 = (753,6 + 452,16) 2 सेमी = 1205.76 सेमी 2

उदाहरण 6

एक शंकु की तरह कुछ के आकार का एक मकई सिल (चित्र देखें. 13.17), 20 सेमी के रूप में 2.1 सेमी और लंबाई (ऊंचाई) के रूप में अपने व्यापक अंत की त्रिज्या है. ढेला की सतह के प्रत्येक 1 2 सेमी चार अनाज के एक औसत वहन करती है, तो आप पूरे सिल पर मिल जाएगा कि कितने अनाज पाते हैं.

हल

मकई के दानों ही मकई सिल की घुमावदार सतह पर पाया जाता है, हम उस पर अनाज की कुल संख्या को खोजने के लिए मकई सिल की घुमावदार सतह क्षेत्र पता करने की आवश्यकता होगी. इस सवाल में, हम शंकु की ऊंचाई दी, ताकि हम अपनी तिरछी ऊंचाई खोजने की जरूरत है कर रहे हैं.

अंजीर. 13.17

यहाँ, मैं = √ आर 2 घंटे 2 = √ (2.1) 2 20 2 सेमी = 20.11 सेमी

इसलिए, मकई की घुमावदार सतह क्षेत्र सिल = π आर एल = 22/7 × 2.1 × 20.11 सेमी 2 = 132.726 सेमी 2 = 132.73 2 सेमी (लगभग)

मकई सिल की सतह = 4 में से 1 सेमी 2 पर मकई के दानों की संख्या

सिल के पूरे घुमावदार सतह पर अनाज की इसलिए, संख्या = 132.73 × 4 = 530,92 = 531 (लगभग)

तो, सिल पर मकई की लगभग 531 अनाज होगा.

युद्धाभ्यास 13.3

जब तक अन्यथा कहा, = 22/7 π मान लें.

• एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसके तिरछा ऊंचाई 10 सेमी है. अपनी घुमावदार सतह क्षेत्र का पता लगाएं.



• एक शंकु की कुल सतह क्षेत्र का पता लगाएं, इसके तिरछा ऊंचाई 21 मीटर और उसके आधार का व्यास है तो 24 मीटर है.



• एक शंकु की घुमावदार सतह क्षेत्र 308 2 सेमी है और इसके तिरछा ऊंचाई 14 सेमी है. खोज
• आधार की त्रिज्या और



• शंकु की कुल सतह क्षेत्र.



• एक शंक्वाकार तम्बू 10 मीटर ऊंची है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मीटर है. खोज
• टेंट की ऊंचाई तिरछा.



• 1 2 मीटर कैनवास की कीमत 70 रुपये है, तम्बू बनाने वाले कैनवास की लागत.



• तिरपाल 3 मीटर चौड़ी की लंबाई क्या ऊंचाई की शंक्वाकार तम्बू 8 मीटर और आधार त्रिज्या 6 मीटर बनाने के लिए आवश्यक हो जाएगा? काटने में मुनाफा और अपव्यय सिलाई के लिए आवश्यक हो जाएगा कि सामग्री की अतिरिक्त लंबाई लगभग 20 सेमी (= 3.14 π का ​​उपयोग) है कि मान लें.



• एक शंक्वाकार कब्र की तिरछी ऊंचाई और आधार व्यास क्रमश: 25 मीटर और 14 मीटर रहे हैं. 100 मीटर 2 रुपये प्रति 210 की दर से अपनी घुमावदार सतह सफेद धोने की लागत का पता लगाएं.



• एक जोकर की टोपी आधार त्रिज्या 7 सेमी और ऊंचाई 24 सेमी की सही परिपत्र शंकु के रूप में है. 10 ऐसी टोपी बनाने के लिए आवश्यक चादर के क्षेत्र का पता लगाएं.



• एक बस स्टॉप पुनर्नवीनीकरण गत्ते के बने 50 खोखला शंकु का उपयोग करके सड़क के शेष भाग से घेर रहा है. प्रत्येक शंकु 40 सेमी और ऊंचाई 1 मीटर का एक आधार व्यास है. शंकु के प्रत्येक के बाहरी पक्ष चित्रित किया जा रहा है और पेंटिंग की कीमत 2 मीटर प्रति 12 रुपये है, तो क्या इन सभी शंकु पेंटिंग की कीमत होगी? (Π = 3.14 का उपयोग करें और √ 1.04 = 1.02 लेने के लिए)

एक क्षेत्र की 13.5 सतह क्षेत्र

एक क्षेत्र क्या है? यह एक चक्र के रूप में ही है? आप एक कागज पर एक चक्र आकर्षित कर सकते हैं? एक चक्र जिसका हर बिंदु चक्र के केंद्र कहा जाता है जो एक निश्चित बिंदु से एक निरंतर दूरी (तथाकथित त्रिज्या) पर स्थित एक विमान बंद आंकड़ा है क्योंकि हां, आप कर सकते हैं. आप एक परिपत्र डिस्क की एक व्यास के साथ एक स्ट्रिंग पेस्ट और आप पिछले भाग में त्रिकोण घुमाया था के रूप में बारी बारी से अब, अगर आप (चित्र 13.18 देखें) एक नया ठोस देखें. यह क्या सदृश होता है? एक गेंद? हां. यह एक क्षेत्र कहा जाता है.

अंजीर. 13.18

आप यह रोटेशन पर एक क्षेत्र रूपों जब क्या, चक्र के केंद्र के लिए होता अनुमान कर सकते हैं? बेशक, यह क्षेत्र का केंद्र बन जाता है. तो, एक क्षेत्र क्षेत्र का केंद्र कहा जाता है एक निश्चित बिंदु से, त्रिज्या नामक एक निरंतर दूरी पर झूठ जो अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं, से बना है जो एक तीन आयामी आंकड़ा (ठोस आंकड़ा), है.

ध्यान दें: एक क्षेत्र में एक गेंद की सतह की तरह है. शब्द ठोस क्षेत्र जिनकी सतह एक क्षेत्र है ठोस के लिए प्रयोग किया जाता है.

क्रियाकलाप

क्या तुमने कभी एक शीर्ष के साथ खेला जाता है या आप कम से कम एक साथ किसी खेल देखा है किया है? आप एक स्ट्रिंग यह आसपास घाव है के बारे में पता होना चाहिए. अब, हमें एक रबर की गेंद लेने और इसे में एक कील ड्राइव करते हैं. नाखून का समर्थन लेते हुए हमें गेंद के चारों ओर एक स्ट्रिंग हवा देना. आप पूरी तरह से गेंद को कवर किया है जब तक आप गेंद की 'पूरी' भाग तक पहुँच चुके हैं, जगह में स्ट्रिंग रखने के लिए पिन का उपयोग, और गेंद के शेष हिस्से के चारों ओर स्ट्रिंग हवा के लिए जारी [छवि देखते हैं. 13.19 (एक)]. तार पर शुरू करने और परिष्करण अंक में चिह्नित करें, और धीरे धीरे गेंद की सतह से स्ट्रिंग खोलना. अब, आप आसानी से अपने त्रिज्या जहां से गेंद के व्यास को मापने में मदद करने के लिए अपने शिक्षक से पूछो. फिर कागज के एक पत्रक पर, गेंद की त्रिज्या के बराबर त्रिज्या के साथ चार हलकों आकर्षित. आप गेंद के आसपास घाव था [चित्र देखें स्ट्रिंग के साथ, हलकों एक के बाद एक भरने शुरू करो. 13.19 (ख)].

अंजीर. 13.19

आप इस सब में क्या हासिल किया है?

पूरी तरह से क्षेत्र की सतह क्षेत्र को कवर किया था जो स्ट्रिंग,, पूरी तरह से चार हलकों, क्षेत्र के रूप में एक ही त्रिज्या के सभी के क्षेत्रों को भरने के लिए इस्तेमाल किया गया है. तो, इसका क्या मतलब है? यह पता चलता है कि त्रिज्या के एक क्षेत्र की सतह क्षेत्र आर = 4 बार त्रिज्या का एक वृत्त आर = 4 × (π आर2) के क्षेत्र

अतः,

 आर क्षेत्र की त्रिज्या है जहां.

आप एक क्षेत्र की सतह में कितने चेहरे देखते हैं? घुमावदार है जो केवल एक ही है.

अब, हम एक ठोस क्षेत्र लेते हैं, और इसके केंद्र के माध्यम से गुजरता है कि एक विमान के साथ 'बीच के माध्यम से' वास्तव में उसे काट दें. क्या इस क्षेत्र के लिए होता है?

हाँ, यह दो बराबर भागों (चित्र देखें. 13.20) में विभाजित हो जाता है!

प्रत्येक आधा क्या कहा जाएगा? यह एक गोलार्द्ध कहा जाता है.

('आधा' भी 'आधा' का मतलब है क्योंकि)

और क्या एक गोलार्द्ध की सतह के बारे में? यह कितने चेहरे है?

दो! एक घुमावदार चेहरे और एक सपाट चेहरे (आधार) है.

एक गोलार्द्ध के घुमावदार सतह क्षेत्र 4π आर2 का आधा है जो क्षेत्र के आधा सतह क्षेत्र है.

अंजीर. 13.20

अतः,

 आर गोलार्द्ध एक हिस्सा है जिसमें से क्षेत्र की त्रिज्या है जहां.

अब एक गोलार्द्ध के दो चेहरे ले रही है, इसकी सतह क्षेत्र 2π आर2 π आर2

अतः,

उदाहरण 7

त्रिज्या 7 सेमी की एक क्षेत्र की सतह क्षेत्र का पता लगाएं.

हल

त्रिज्या 7 सेमी की एक क्षेत्र की सतह क्षेत्र होगा

4π आर2 = 4 × 22/7 × 7 × 7 सेमी 2 = 616 सेमी 2

उदाहरण 8

(मैं) घुमावदार सतह क्षेत्र और त्रिज्या 21 सेमी की एक गोलार्द्ध (ii) कुल सतह क्षेत्र का पता लगाएं.

हल

त्रिज्या 21 सेमी की एक गोलार्द्ध के घुमावदार सतह क्षेत्र होगा

             = 2π आर2 = 2 × 22/7 × 21 × 21 सेमी 2 = 2772 सेमी 2

(दो) गोलार्द्ध की कुल सतह क्षेत्र होगा

             3π आर2 = 3 × 22/7 × 21 × 21 सेमी 2 = 4158 सेमी 2

उदाहरण 9

सर्कस मोटरसाइकिल अपने स्टंट करता है जिसमें खोखले गोले, 7 मीटर का व्यास है. सवारी के लिए मोटरसाइकिल के लिए उपलब्ध क्षेत्र का पता लगाएं.

हल

क्षेत्र के व्यास = 7 मीटर. इसलिए, त्रिज्या 3.5 मीटर है. तो, मोटरसाइकिल के लिए उपलब्ध सवारी अंतरिक्ष द्वारा दिया जाता है जो 'क्षेत्र' की सतह क्षेत्र है

            4π आर2 = 4 × 22/7 × 3.5 × 3.5 मीटर 2

                  = 154 मीटर 2

उदाहरण 10

एक इमारत का एक अर्धगोल गुंबद (चित्र देखें. 13.21) चित्रित करने की आवश्यकता है. गुंबद के आधार की परिधि 17.6 मीटर है, तो पेंटिंग की कीमत 100 सेमी 2 रुपये प्रति 5 है दी गई यह पेंटिंग की लागत लगता है.

हल

गुंबद का एकमात्र गोल सतह चित्रित किया जा रहा है के बाद से, हम कुछ करने की जरूरत है कि पेंटिंग की हद तक पता करने गोलार्द्ध के घुमावदार सतह क्षेत्र खोजने की जरूरत होगी. गुंबद = 17.6 मीटर की अब, परिधि. इसलिए, 17.6 = 2π आर.

तो, गुंबद की त्रिज्या = 17.6 × 7/2 x 22 मीटर = 2.8 मीटर

गुंबद के घुमावदार सतह क्षेत्र = 2π आर2

           = 2 × 22/7 × 2.8 × 2.8 मीटर 2 = 49.28 मीटर 2

अब, 100 सेमी 2 पेंटिंग की कीमत 5 रुपये है.

तो, चित्रकला 1 की लागत 2 मीटर = 500 रुपये

पूरे गुंबद = 500 रुपये × 49.28 = रु 24640 पेंटिंग की इसलिए, लागत

अंजीर. 13.21

युद्धाभ्यास 13.4

जब तक अन्यथा कहा, = 22/7 π मान लें.

• त्रिज्या का एक क्षेत्र की सतह क्षेत्र खोजें:
• 10.5 सेमी



• 5.6 सेमी



• 14 सेमी



• व्यास का एक क्षेत्र की सतह क्षेत्र खोजें:
• 14 सेमी



• 21 सेमी



• 3.5 मीटर



• त्रिज्या 10 सेमी की एक गोलार्द्ध की कुल सतह क्षेत्र का पता लगाएं. (= 3.14 π का ​​प्रयोग करें)



• 7 सेमी से हवा के रूप में 14 सेमी करने के लिए एक गोलाकार गुब्बारा बढ़ जाती है की त्रिज्या में यह पंप किया जा रहा है. दो मामलों में गुब्बारे की सतह क्षेत्रों के अनुपात का पता लगाएं.



• पीतल का बना एक अर्धगोल कटोरा भीतरी व्यास 10.5 सेमी है. 100 सेमी 2 रुपये प्रति 16 की दर से अंदर पर टिन चढ़ाना यह की लागत का पता लगाएं.



• जिनकी सतह क्षेत्र 154 सेमी 2 है एक क्षेत्र की त्रिज्या का पता लगाएं.



• चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है. उनकी सतह क्षेत्रों के अनुपात का पता लगाएं.



• एक अर्धगोल कटोरा 0.25 सेमी मोटी स्टील से बना है. कटोरा के भीतर की त्रिज्या 5 सेमी है. कटोरा के बाहरी घुमावदार सतह क्षेत्र का पता लगाएं.



• एक सही परिपत्र सिलेंडर सिर्फ त्रिज्या r (चित्र देखें. 13.22) के एक क्षेत्र encloses. खोज
• क्षेत्र की सतह क्षेत्र,
• सिलेंडर की घुमावदार सतह क्षेत्र,
• क्षेत्रों के अनुपात (मैं) में प्राप्त की और (ii).


अंजीर. 13.22

घनाभ का 13.6 मात्रा

आप पहले से ही पहले की कक्षाओं में कुछ आंकड़े (वस्तुओं) की मात्रा के बारे में सीखा है. ठोस वस्तुओं के स्थान पर कब्जा याद है कि. इस पर कब्जा कर लिया अंतरिक्ष के उपाय वस्तु की मात्रा कहा जाता है.

नोट: एक वस्तु ठोस है, तो ऐसी वस्तु के कब्जे में अंतरिक्ष मापा जाता है, और वस्तु की मात्रा करार दिया है. वस्तु खोखला है तो दूसरी ओर,, तो आंतरिक खाली है, और हवा, या अपने कंटेनर का आकार ले जाएगा कि कुछ तरल से भरा जा सकता है. इस मामले में, आंतरिक भर सकते हैं कि पदार्थ की मात्रा कंटेनर की क्षमता भी कहा जाता है. संक्षेप में, एक वस्तु की मात्रा रह रहे हैं यह अंतरिक्ष का उपाय है, और एक वस्तु की क्षमता इसके इंटीरियर को समायोजित कर सकते पदार्थ की मात्रा है. इसलिए, दोनों में से किसी की माप की इकाई घन इकाई है.

हम एक घनाभ की मात्रा की बात करने के लिए गए थे तो, अगर हम घनाभ के कब्जे में अंतरिक्ष के उपाय पर विचार किया जाएगा.

इसके अलावा, क्षेत्र या मात्रा एक क्षेत्र की भयावहता के रूप में मापा जाता है. तो, सही ढंग से बोल रहा हूँ, हम एक परिपत्र क्षेत्र के क्षेत्र, या एक आयातफलकी क्षेत्र की मात्रा, या एक गोलाकार क्षेत्र की मात्रा, आदि खोजने लेकिन सादगी के लिए, हम कहते हैं, एक वृत्त का क्षेत्रफल, आयतन ज्ञात किया जाना चाहिए घनाभ या ये केवल अपनी सीमाओं का मतलब भले ही एक क्षेत्र की.

अंजीर. 13.23

चित्र को ध्यान से देखें. 13.23. हम प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल का कहना है कि मान लीजिए ए, जो आयतों खड़ी कर रहे हैं अप करने के लिए ऊंचाई ज रहा है और घनाभ की मात्रा वी. तुम, वी के बीच रिश्ता क्या होगा बता सकते हैं कि एक और ज? है

विमान क्षेत्र के क्षेत्र × ऊंचाई अंतरिक्ष के = उपाय घनाभ के कब्जे प्रत्येक आयत के कब्जे में

तो, हम एक × ज = वी मिल

अर्थात,

या एल × ख × एल, ख और ज क्रमशः लंबाई, चौड़ाई और घनाभ की ऊंचाई कहाँ हैं, ज.

ध्यान दें: हम एक अंतरिक्ष के क्षेत्र की भयावहता, कि है, एक ठोस द्वारा कब्जा अंतरिक्ष उपाय करते हैं, हम वास्तव में इसे में फिट कर सकते हैं इकाई लंबाई की बढ़त के घनों की संख्या की गणना से ऐसा करते हैं. इसलिए, मात्रा की माप की इकाई घन इकाई है.

फिर

एक घन (चित्र देखें. 13.24) की बढ़त है जहां.

तो, एक घन 12 सेमी की बढ़त है,

फिर घन की मात्रा = 12 × 12 × 12 सेमी 3 = 1728 सेमी 3.

आप पहले कक्षाओं में इन सूत्रों सीखा है कि स्मरण करो. अब हमें इन सूत्रों के इस्तेमाल के उदाहरण देकर स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं:

अंजीर. 13.24

उदाहरण 11

लंबाई 10 मीटर की एक दीवार एक खुले मैदान में बनाया जा रहा था. दीवार की ऊंचाई दीवार से 4 मीटर और मोटाई 24 सेमी है. इस दीवार जिसका आयाम 24 सेमी × 12 सेमी × 8 सेमी, आवश्यक होगा कि कितने ईंटों रहे ईंटों से निर्मित किया जा रहा है? हैं

हल

अपने सभी ईंटों के साथ दीवार यह द्वारा कब्जा अंतरिक्ष का निर्माण करता है के बाद से, हम दीवार की मात्रा खोजने की जरूरत है, जो लेकिन एक घनाभ कुछ भी नहीं है.

इधर, लंबाई = 10 मीटर = 1000 सेमी

मोटाई = 24 सेमी

ऊँचाई = 4 मीटर = 400 सेमी

इसलिए, दीवार = लंबाई की माप × मोटाई × ऊंचाई = 1000 × 24 × 400 सेमी 3

अब, एक ईंट लंबाई = 24 सेमी, चौड़ाई = 12 सेमी और ऊंचाई = 8 सेमी के साथ एक घनाभ है

इसलिए, प्रत्येक ईंट का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई = 24 × 12 × 8 सेमी 3

तो, ईंटों की संख्या प्रत्येक ईंट कीदीवार / मात्राके = मात्रा आवश्यक = 1000 x 24 x 400/24​​x 12 x 8 = 4166.6

तो, दीवार 4167 ईंटों की आवश्यकता है.

उदाहरण 12

चित्र में दिखाया गया के रूप में क्यूब्स के आकार के होते हैं जो इमारत ब्लॉकों के साथ खेल रहे एक बच्चे को एक संरचना का निर्माण किया है. 13.25. प्रत्येक घन के किनारे 3 सेमी है, तो बच्चे द्वारा निर्मित संरचना की मात्रा पाते हैं.

हल

प्रत्येक घन = बढ़त × बढ़त × बढ़त = 3 × 3 × 3 सेमी 3 = 27 सेमी 3 की मात्रा

संरचना में घनों की संख्या = 15

इसलिए, संरचना की मात्रा = 27 × 15 सेमी 3 = 405 सेमी 3

अंजीर. 13.25

युद्धाभ्यास 13.5

• एक माचिस 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी उपाय. क्या 12 ऐसे बक्से युक्त एक पैकेट की मात्रा हो जाएगा?



• एक cuboidal को पानी की टंकी 6 मीटर लंबी, 5 मीटर चौड़ा और 4.5 मीटर गहरा है. यह कितने पानी की लीटर पकड़ कर सकते हैं? (1 एम 3 = 1000 लीटर)



• एक आयातफलकी पोत 10 मीटर लंबी और 8 मीटर चौड़ा है. कैसे उच्च यह एक तरल के 380 क्यूबिक मीटर पकड़ करने के लिए किया जाना चाहिए?



• एक आयातफलकी गड्ढे 8 मीटर लंबी, 6 एम व्यापक और 3 मीटर प्रति 30 रुपये की दर पर गहरी 3 मीटर खुदाई की लागत का पता लगाएं.



• एक आयातफलकी टैंक की क्षमता पानी की 50,000 लीटर है. इसकी लंबाई और गहराई क्रमश: 2.5 मीटर और 10 मीटर रहे हैं, टैंक की चौड़ाई का पता लगाएं.



• 4000 की आबादी वाले एक गांव, प्रति दिन प्रति व्यक्ति पानी की 150 लीटर की आवश्यकता है. यह 20 मीटर × 15 मीटर × 6 मीटर को मापने के एक टैंक है. कितने दिनों से इस टंकी का पानी पिछले होगा?



• एक गोदाम से 40 मीटर के उपाय × 25 मीटर × 10 मी. लकड़ी के बक्से की अधिकतम संख्या का पता लगाएं प्रत्येक को मापने 1.5 मीटर × 1.25 मीटर गोदाम में भंडारित किया जा सकता है कि × 0.5 मीटर.



• ओर 12 सेमी की एक ठोस घन बराबर मात्रा के आठ cubes में कट जाता है. क्या नया क्यूब की ओर हो जाएगा? इसके अलावा, उनकी सतह क्षेत्रों के बीच अनुपात पाते हैं.






• एक नदी 3 मीटर गहरा और 40 मीटर चौड़ा प्रति घंटे 2 किमी की दर से बह रहा है. कितना पानी एक मिनट में समुद्र में गिर जाएगी?

एक सिलेंडर की 13.7 मात्रा

घनाभ एक ही आकार की आयतों के साथ बनाया गया है, उसी तरह हम एक सही परिपत्र सिलेंडर ही आकार के हलकों का उपयोग कर बनाया जा सकता है कि देखा है. तो, एक घनाभ के रूप में एक ही तर्क का उपयोग कर, हम एक सिलेंडर की मात्रा के रूप में प्राप्त किया जा सकता है देख सकते हैं: आधार क्षेत्र × ऊंचाई परिपत्र के आधार के = क्षेत्र × ऊंचाई = π आर2घंटे

अतः,

आर आधार त्रिज्या और ज सिलेंडर की ऊंचाई है जहां.

उदाहरण 13

एक मंदिर के स्तंभों cylindrically (चित्र देखें. 13.26) आकार के हैं. प्रत्येक स्तंभ त्रिज्या 20 सेमी और कंक्रीट मिश्रण 14 ऐसे स्तंभों का निर्माण करने की आवश्यकता होगी कितना ऊंचाई 10 मीटर, के एक परिपत्र आधार है? हैं

हल

स्तंभों का निर्माण करने के लिए इस्तेमाल किया जा रहा है कि कंक्रीट मिश्रण स्तंभ के पूरे स्थान पर कब्जा करने के लिए जा रहा है, क्या हम यहाँ खोजने की जरूरत सिलेंडरों की मात्रा है.

एक सिलेंडर = 20 सेमी के आधार की त्रिज्या

बेलनाकार स्तंभ की ऊंचाई = 10 मीटर = 1000 सेमी

इसलिए, प्रत्येक सिलेंडर = π आर2घंटे की मात्रा

अंजीर. 13.26

= 22/7 × 20 × 20 × 1000 सेमी 3

= 8800000/7 सेमी 3

= 8.8 / 7 = 3 मीटर (चूंकि 1000000 सेमी 3 = 1 3)

इसलिए, प्रत्येक सिलेंडर × 14 = 8.8 / 7 × 14 3 = 17.6 3 मीटर के 14 खंभे की मात्रा = मात्रा

तो, 14 खंभे कंक्रीट मिश्रण का 17.6 3 मीटर की आवश्यकता होगी.

उदाहरण 14

एक रमजान मेले में, खाद्य स्टालों में से एक में एक स्टाल कीपर संतरे के रस के साथ 32 सेमी की ऊंचाई तक भरा आधार त्रिज्या 15 सेमी की एक बड़ी बेलनाकार पोत है. रस 8 सेमी की ऊंचाई तक त्रिज्या 3 सेमी की (चित्र देखें. 13.27) छोटे बेलनाकार गिलास में भरा है, और 3 रुपये प्रत्येक के लिए बेच दिया जाता है. स्टाल कीपर पूरी तरह रस बेचकर कितना पैसा प्राप्त करता है?

अंजीर. 13.27

हल

cylinderical पोत से पोत में रस की मात्रा = मात्रा

            = ΠR 2 एच (नि. और एच पोत के क्रमश त्रिज्या और ऊंचाई के रूप में लिया जाता है)

           = Π × 15 × 15 × 32 सेमी 3

इसी तरह, रस की मात्रा प्रत्येक गिलास = π आर2घंटे (नि. और ज प्रत्येक गिलास की क्रमश त्रिज्या और ऊंचाई के रूप में लिया जाता है) पकड़ कर सकते हैं

           = Π × 3 × 3 × 8 सेमी 3

तो, पोत / प्रत्येक गिलास की मात्राके = मात्रा में बेचा जाता है कि रस के चश्मे की संख्या = π x 15 x 15 x 32 / π एक्स 3 एक्स 3 एक्स 8 = 100

इसलिए, राशि स्टाल कीपर = 3 रुपये × 100 = 300 रुपये से प्राप्त

युद्धाभ्यास 13.6

जब तक अन्यथा कहा, = 22/7 π मान लें.

• एक बेलनाकार पोत के आधार की परिधि 132 सेमी है और इसकी ऊंचाई 25 सेमी है. यह कितने पानी की लीटर पकड़ कर सकते हैं? (1000 सेमी 3 = 1 एल)



• एक बेलनाकार लकड़ी के पाइप के भीतरी व्यास 24 सेमी है और इसकी बाहरी व्यास 28 सेमी है. पाइप की लंबाई 35 सेमी है. लकड़ी का 1 सेमी 3 0.6 ग्राम का एक जन है, पाइप के द्रव्यमान का पता लगाएं.



• एक शीतल पेय की दो पैक में उपलब्ध है - (i) के एक टिन कर सकते हैं लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी की एक आयताकार आधार के साथ 15 सेमी की ऊंचाई होने और व्यास 7 सेमी और ऊंचाई के परिपत्र के आधार के साथ (ii) एक प्लास्टिक सिलेंडर 10 सेमी. जो कंटेनर अधिक से अधिक क्षमता और कितना है?



• एक सिलेंडर के पार्श्व सतह 94.2 2 सेमी है और इसकी ऊंचाई 5 सेमी है, तो पाते हैं
• इसके आधार की त्रिज्या



• इसकी मात्रा. (= 3.14 π का ​​प्रयोग करें)



• यह गहरी एक बेलनाकार पोत 10 मीटर की भीतरी सतह घुमावदार पेंट करने के लिए 2200 रुपये खर्च होते हैं. पेंटिंग की कीमत 2 मीटर 20 रुपये प्रति की दर से है, तो पाते हैं
• पोत के भीतरी घुमावदार सतह क्षेत्र,



• आधार की त्रिज्या,



• पोत की क्षमता.



• ऊंचाई 1 मीटर के एक बंद बेलनाकार पोत की क्षमता 15.4 लीटर है. धातु शीट के कितने वर्ग मीटर इसे बनाने की जरूरत होगी?



• एक का नेतृत्व पेंसिल भीतरी इलाकों में भरा ग्रेफाइट की एक ठोस सिलेंडर के साथ लकड़ी के एक सिलेंडर के होते हैं. पेंसिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है. पेंसिल की लंबाई 14 सेमी है, ग्रेफाइट की लकड़ी और उस की मात्रा पाते हैं.






• एक अस्पताल में एक मरीज को व्यास 7 सेमी की एक बेलनाकार कटोरा में दैनिक सूप दिया जाता है. कटोरा 4 सेमी की ऊंचाई तक सूप से भर जाता है, तो अस्पताल में 250 रोगियों की सेवा के लिए दैनिक तैयार करने के लिए है कितना सूप?

एक सही परिपत्र शंकु के 13.8 मात्रा

अंजीर 13.28 में, आप एक सही परिपत्र सिलेंडर और उसी आधार त्रिज्या और एक ही ऊंचाई की एक सही परिपत्र कोन है कि वहाँ देख सकते हैं?

अंजीर. 13.28

क्रियाकलाप

इसी आधार त्रिज्या और एक ही ऊंचाई (चित्र देखें. 13.28) के साथ इस तरह एक खोखले सिलेंडर और एक खोखला शंकु बनाने की कोशिश करें. तो, हम एक सही परिपत्र शंकु की मात्रा होगा व्यावहारिक रूप से देखने के लिए क्या, हमें मदद मिलेगी कि एक प्रयोग बाहर की कोशिश कर सकते हैं!

अंजीर. 13.29

इसलिए, हमें इस तरह से शुरू करते हैं.

एक बार रेत के साथ सीमा से कोन भरें, और सिलेंडर में यह खाली है. हम यह सिलेंडर का ही एक हिस्सा भर जाता है कि [छवि देखते हैं. 13.29 (एक)].

हम किनारा करने के लिए फिर से कोन को भरने, और सिलेंडर में यह खाली है, हम सिलेंडर अभी भी पूर्ण नहीं है कि देखने [छवि देखते हैं. 13.29 (ख)].

कोन तीसरी बार भरा है, और सिलेंडर में खाली कर दिया जाता है, यह सिलेंडर भी पूरा हो जाना [चित्र को देखने के लिए पूर्ण है कि देखा जा सकता है. 13.29 (ग)].

इस के साथ, हम सुरक्षित रूप से एक शंकु के तीन बार मात्रा, उसी आधार त्रिज्या और शंकु की मात्रा है जिसका मतलब है कि कोन, के रूप में एक ही ऊंचाई है जो एक सिलेंडर की मात्रा का निर्माण करता है कि इस निष्कर्ष पर आ सकता है सिलेंडर की एक तिहाई मात्रा.

अतः,

आर आधार त्रिज्या और ज शंकु की ऊंचाई है जहां.

उदाहरण 15

ऊंचाई और एक शंकु की तिरछी ऊंचाई क्रमश: 21 सेमी और 28 सेमी हैं. शंकु की मात्रा का पता लगाएं.

हल

एल2 से r = 2घंटे2, हमारे पास

         आर = √ एल 2 - ज 2 = √ 28 फ़रवरी - 21 फ़रवरी सेमी = 7 √ 7

तो, शंकु की मात्रा = ⅓ π आर2घंटे = ⅓ × 22/7 × 7 √ 7 × 7 √ 7 × 21 सेमी 3 = 7546 सेमी 3

उदाहरण 16

मोनिका जिसका क्षेत्रफल 551 2 मीटर है कैनवास का एक टुकड़ा है. वह 7 मीटर का एक आधार त्रिज्या के साथ इसे बनाया एक शंक्वाकार तम्बू है करने के लिए उपयोग करता है. इसके साथ बनाया जा सकता है कि तम्बू की मात्रा पाते हैं, लगभग 1 एम 2 के लिए, मात्रा काटने जबकि सभी सिलाई मार्जिन और अपव्यय किए गए मान लिया जाये कि.

हल

2 मीटर = 550 मीटर 2 - कैनवास के क्षेत्र के बाद से = 551 2 मीटर और अपव्यय में खो कैनवास के क्षेत्र 1 2 मीटर, तम्बू है (1 551) बनाने के लिए उपलब्ध कैनवास की इसलिए क्षेत्र है.

अब, तम्बू की सतह क्षेत्र = 550 2 मीटर और शंक्वाकार तम्बू की आधार त्रिज्या = 7 मीटर

एक तम्बू (एक तम्बू के फर्श कैनवास द्वारा कवर नहीं है!) केवल एक घुमावदार सतह है कि ध्यान दें.

इसलिए, तम्बू की घुमावदार सतह क्षेत्र = 550 मीटर 2.

यही कारण है, π आर एल = 550 है

या, 22/7 × 7 × एल = 550

या, एल = 3 550/22 मीटर = 25 मीटर

अब, एल = 2आर2घंटे2

इसलिए, ज = √ एल 2 - ज 2 = √ फ़रवरी 25 - फ़रवरी 7 मीटर = √ 625-49 मीटर = √ 576 मीटर = 24 मीटर

तो, शंक्वाकार तम्बू की मात्रा = ⅓ π आर 2 घंटे = ⅓ × 22/7 × 7 × 7 × 24 = 3 1232 मीटर 3.

युद्धाभ्यास 13.7

जब तक अन्यथा कहा, = 22/7 π मान लें.

• सही परिपत्र शंकु की मात्रा से ढूँढ़ें
• त्रिज्या 6 सेमी, ऊंचाई 7 सेमी




• त्रिज्या 3.5 सेमी, ऊंचाई 12 सेमी



• के साथ एक शंक्वाकार पोत की लीटर में क्षमता का पता लगाएं
• त्रिज्या 7 सेमी, तिरछा ऊंचाई 25 सेमी




• ऊंचाई 12 सेमी, तिरछा ऊंचाई 13 सेमी



• एक शंकु की ऊंचाई 15 सेमी है. इसकी मात्रा 1570 सेमी 3 है, तो आधार की त्रिज्या हैं. (= 3.14 π का ​​प्रयोग करें)



• ऊंचाई 9 सेमी की एक सही परिपत्र शंकु की मात्रा 48 π 3सेमी है, इसके आधार का व्यास हैं.



• शीर्ष व्यास 3.5 मीटर की एक शंक्वाकार गड्ढे गहरी 12 मीटर है. किलोलीटर में अपनी क्षमता क्या है?



• एक सही परिपत्र शंकु की मात्रा 9856 सेमी 3 है. आधार का व्यास 28 सेमी है, तो पाते हैं
• शंकु की ऊंचाई



• शंकु की ऊंचाई तिरछा



• शंकु की घुमावदार सतह क्षेत्र



• एक सही त्रिकोण पक्षों के साथ 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी की ओर 12 सेमी के बारे में घूमती है. इसलिए प्राप्त ठोस की मात्रा का पता लगाएं.



• 7 से ऊपर प्रश्न में त्रिकोण एबीसी ओर 5 सेमी के बारे में घूमती है, तो इसलिए प्राप्त ठोस की मात्रा पाते हैं. यह भी प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त दो ठोस की मात्रा के अनुपात का पता लगाएं.






• गेहूं का एक ढेर जिसका व्यास 10.5 मीटर है और ऊंचाई 3 मीटर है एक शंकु के रूप में है. इसकी मात्रा का पता लगाएं. ढेर बारिश से बचाने के लिए कैनवास द्वारा कवर किया जा रहा है. आवश्यक कैनवास के क्षेत्र का पता लगाएं.

एक क्षेत्र की 13.9 मात्रा

अब, हम एक क्षेत्र की मात्रा को मापने के बारे में जाने के लिए कैसे देखते हैं. सबसे पहले, अलग त्रिज्या के दो या तीन क्षेत्रों लेते हैं, और एक बड़ा कंटेनर पर्याप्त एक समय में एक, इसे में क्षेत्रों के प्रत्येक डाल करने में सक्षम हो. इसके अलावा, आप कंटेनर जगह कर सकते हैं, जिसमें एक बड़े गर्त ले. फिर, पानी के साथ सीमा से कंटेनर को भरने [छवि देखते हैं. 13.30 (एक)].

अब, ध्यान से कंटेनर में क्षेत्रों की एक जगह है. कंटेनर से पानी की कुछ इसे [चित्र देखें रखा है जिसमें गर्त में प्रवाह पर होगा. 13.30 (ख)]. ध्यान से एक को मापने सिलेंडर (यानी, एक स्नातक बेलनाकार जार) में गर्त से पानी डालना और प्रवाहित पर पानी को मापने [छवि देखते हैं. 13.30 (ग)]. डूब क्षेत्र की त्रिज्या r (आप क्षेत्र के व्यास को मापने के द्वारा त्रिज्या पा सकते हैं) लगता है. तो फिर आर3/3 4 π का मूल्यांकन. आप प्रवाहित अधिक मात्रा के उपाय करने के लिए लगभग बराबर इस मूल्य मिला?

अंजीर. 13.30

एक बार फिर क्षेत्र के एक अलग आकार के साथ, बस अब किया प्रक्रिया को दोहराने. इस क्षेत्र की त्रिज्या आर लगाएं और फिर πR 3 4/3 के मूल्य की गणना. एक बार फिर से इस मूल्य क्षेत्र से अधिक (प्रवाहित) विस्थापित पानी की मात्रा के उपाय करने के लिए लगभग बराबर है. यह क्या बताता है? हम क्षेत्र की मात्रा इसके द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा के उपाय के रूप में ही है कि पता है. त्रिज्या अलग क्षेत्रों के साथ बार बार यह प्रयोग करने से, हम एक ही परिणाम हो रही है, अर्थात्, एक क्षेत्र की मात्रा 4/3 π बार इसकी त्रिज्या के घन के बराबर है. यह हमारे विचार देता है

 आर क्षेत्र की त्रिज्या है जहां.

बाद में, उच्च वर्ग में यह भी साबित हो सकता है. लेकिन इस स्तर पर, हम सिर्फ यह सच के रूप में ले जाएगा.

एक गोलार्द्ध एक क्षेत्र का आधा है, तो आप एक गोलार्द्ध की मात्रा हो जाएगा लगता है क्या कर सकते हैं? हाँ, यह 4/3 πr 3 = π आर3 का आधा है.

अतः,

आर गोलार्द्ध की त्रिज्या है जहां.

हमें इन सूत्रों के इस्तेमाल के उदाहरण देकर स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण देना चाहूंगा.

उदाहरण 17

एक शॉट पट त्रिज्या 4.9 सेमी की एक धातु क्षेत्र है. धातु का घनत्व 3 सेमी प्रति 7.8 ग्राम है, तो शॉट पट की बड़े पैमाने पर हैं.

हल

आवश्यक मात्रा = 4/3 πr 3 = 4/3 × 22/7 × 11.2 × 11.2 × 11.2 सेमी 3 = 5887.32 सेमी 3

उदाहरण 18

त्रिज्या 11.2 सेमी का एक क्षेत्र की मात्रा का पता लगाएं.

हल

शॉट पट धातु से बना एक ठोस क्षेत्र है और इसकी बड़े पैमाने पर इसकी मात्रा और घनत्व के उत्पाद के बराबर है, हम क्षेत्र की मात्रा खोजने की जरूरत है.

अब, क्षेत्र की मात्रा = 4/3 πr 3 = 4/3 × 22/7 × 4.9 × 4.9 × 4.9 सेमी 3 = 493 सेमी 3 (लगभग)

इसके अलावा, धातु का 1 सेमी 3 की बड़े पैमाने पर 7.8 ग्राम है.

शॉट पट = 7.8 × 493 ग्राम = 3845.44 छ = 3.85 किलो की इसलिए, जन ​​(लगभग)

उदाहरण 19

एक अर्धगोल कटोरा 3.5 सेमी की त्रिज्या है. क्या यह शामिल होगा पानी की मात्रा होगा?

हल

पानी की मात्रा कटोरा शामिल कर सकते हैं = 2/3 π आर3 = ⅔ × 22/7 × 3.5 × 3.5 × 3.5 सेमी 3 = 89.8 सेमी 3

युद्धाभ्यास 13.8

जब तक अन्यथा कहा, = 22/7 π मान लें.

• जिसका त्रिज्या है एक क्षेत्र की मात्रा का पता लगाएं
• 7 सेमी




• 0.63 मीटर




• व्यास का एक ठोस गोलाकार गेंद से विस्थापित पानी की मात्रा का पता लगाएं
• 28 सेमी




• 0.21 मीटर




• एक धातु गेंद का व्यास 4.2 सेमी है. क्या धातु का घनत्व 3 सेमी प्रति 8.9 ग्राम है तो गेंद की बड़े पैमाने पर है?




• चंद्रमा का व्यास लगभग एक चौथाई पृथ्वी के व्यास का है. क्या पृथ्वी की मात्रा का अंश चाँद की मात्रा है?




• व्यास का एक अर्धगोल कटोरा 10.5 सेमी कितने लीटर दूध को पकड़ कर सकते हैं?




• एक अर्धगोल टैंक 1 सेमी मोटी एक लोहे की शीट से बना है. आंतरिक त्रिज्या 1 मीटर है, तो टैंक बनाने के लिए इस्तेमाल लोहे की मात्रा पाते.




• जिनकी सतह क्षेत्र 154 सेमी 2 है एक क्षेत्र की मात्रा का पता लगाएं.




• एक इमारत का एक गुंबद एक गोलार्द्ध के रूप में है. अंदर से, यह रुपए 498.96 की कीमत पर सफेद धोया था. सफेद धोने की लागत प्रति वर्ग मीटर 2.00 रुपए है, तो पाते हैं
• गुंबद की सतह क्षेत्र के अंदर,




• गुंबद के अंदर हवा की मात्रा.




• बीस सात ठोस लोहे क्षेत्रों, त्रिज्या r और सतह क्षेत्र एस के प्रत्येक क्षेत्र की सतह एस 'के साथ एक क्षेत्र के लिए फार्म पिघल रहे हैं. खोज
• नए क्षेत्र की त्रिज्या आर ',




• एस एंड एस 'का अनुपात.




• दवा की एक कैप्सूल व्यास 3.5 मिमी की एक क्षेत्र की स्थिति में है. कितना दवा (mm3 में) इस कैप्सूल भरने की जरूरत है?

युद्धाभ्यास 13.9 (वैकल्पिक) *

• इस प्रकार के रूप में एक लकड़ी की अलमारी बाहरी आयाम: लंबाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी (चित्र देखें 13.31.). तख़्त की मोटाई हर जगह 5 सेमी है. बाहरी चेहरे पॉलिश किए जा रहे हैं और भीतरी चेहरे चित्रित किया जा रहे हैं. चमकाने की दर 2 सेमी प्रति 20 पैसे है और चित्रकला की दर 2 सेमी प्रति 10 पैसे है, चमकाने और अलमारी की सतह चित्रकला के लिए आवश्यक कुल खर्च लगता है.


अंजीर. 13.31

• एक घर के सामने परिसर की दीवार के रूप में छवि 13.32 में दिखाया छोटी समर्थन पर रखा व्यास 21 सेमी की लकड़ी के क्षेत्रों से सजाया है. आठ ऐसे क्षेत्रों में इस उद्देश्य के लिए इस्तेमाल किया, और चांदी चित्रित किया जा रहे हैं. प्रत्येक समर्थन त्रिज्या 1.5 सेमी और ऊंचाई 7 सेमी की एक सिलेंडर है और काले रंग की जानी है. चांदी के रंग 2 सेमी और काले रंग की लागत 2 सेमी प्रति 5 पैसे प्रति 25 पैसे की लागत यदि आवश्यक रंग की लागत का पता लगाएं.


अंजीर. 13.32

• एक गोले का व्यास 25% की कमी हुई है. क्या फीसदी अपनी घुमावदार सतह क्षेत्र में कमी करता है? द्वारा

*यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्टि से नहीं दी गई है।

सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया हैः

• भूतल घनाभ = 2 (पौंड + BH + एच. एल) के क्षेत्र
• एक घन = 6 एक2 की सतह क्षेत्र
• एक सिलेंडर = 2 π आरएच की घुमावदार सतह क्षेत्र
• कुल सतह एक सिलेंडर = 2 π r (आर + ज) का क्षेत्र
• एक शंकु = π आरएल की घुमावदार सतह क्षेत्र
• एक सही परिपत्र शंकु की कुल सतह क्षेत्र = π आरएल + π आर2, यानी, π आर (एल + आर)
• त्रिज्या का एक क्षेत्र आर = 4 π आर2 की सतह क्षेत्र
• एक गोलार्द्ध = 2 π आर2 के घुमावदार सतह क्षेत्र
• एक गोलार्द्ध = 3 π आर2 की कुल सतह क्षेत्र
• घनाभ = एल × ख × घंटे की मात्रा
• एक घन = एक3 की मात्रा
• एक सिलेंडर = π आर2घंटे की मात्रा
• एक शंकु की मात्रा = ⅓ π आर 2 घंटे
• त्रिज्या का एक क्षेत्र आर = 4/3 πr 3 की मात्रा
• एक गोलार्द्ध = ⅔ πr 3 की मात्रा

[यहाँ, पत्र, ख, ज, एक, अनुसंधान, आदि के संदर्भ पर निर्भर करता है, उनके सामान्य अर्थ में एल इस्तेमाल किया गया है.]